มูลบทยุคลิด เล่มที่ ๑๐ - ๑๓

หนังสือ The Elements of Euclid เป็นตำราคณิตศาสตร์เก่าแก่ แต่งโดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก นามว่า ยุคลิดแห่งอเล็กซานเดรีย (Euclid of Alexandria) ในสมัยอาณาจักรกรีกโบราณ ราวศตวรรษที่ ๓-๔ ก่อนคริสตกาล (พุทธศตวรรษที่ ๒-๓) หนังสือ The Elements แบ่งเนื้อหาออกเป็น ๑๓ เล่ม เนื้อหาหลักประกอบด้วย เรขาคณิตขั้นพื้นฐาน และทฤษฎีจำนวน เนื้อหาในส่วนเรขาคณิต กล่าวถึง คุณสมบัติเชิงระนาบ และเชิงสามมิติของรูปหลายเหลี่ยม เส้นตรง วงกลม และทรงตัน วิธีการสร้างรูปหลายเหลี่ยมและทรงตันภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด ความสัมพันธ์ระหว่างสัดส่วนกับรูปคล้าย และความสัมพันธ์เชิงพีชคณิตของรูปหลายเหลี่ยมต่าง ๆ อาทิ ทฤษฎีบทพีธากอรัส เป็นต้น เนื้อหาในส่วนทฤษฎีจำนวน กล่าวถึง คุณสมบัติของจำนวนเฉพาะ จำนวนยกกำลัง อนุกรมเรขาคณิต จำนวนคูณร่วมน้อยและหารร่วมมาก นอกจากนี้ ยุคลิดยังได้พยายามจำแนกจำนวนอตรรกยะออกเป็นหมวดหมู่ และนำเสนอการคำนวณพื้นที่และปริมาตรโดยใช้วิธี Method of Exhaustion เนื้อหาเหล่านี้เป็นรากฐานสำคัญที่นำไปสู่การพัฒนาวิชาเรขาคณิตแบบยุคลิต (Euclidean Geometry) แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ (Integral Calculus) ตลอดจนวิชาคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ อีกเป็นจำนวนมากในเวลาต่อมา

ปัจจุบัน เป็นที่ยอมรับกันในวงกว้างว่า ยุคลิดมิใช่ผู้คิดค้นทฤษฎีบทต่าง ๆ ที่ปรากฏอยู่ในตำราเล่มนี้ด้วยตนเอง ทฤษฎีบทจำนวนมากมีหลักฐานปรากฏว่าได้รับการคิดค้นและพิสูจน์ไว้แล้วก่อนสมัยยุคลิด อย่างไรก็ตาม ยุคลิดเป็นผู้มีบทบาทสำคัญในการนำเอาทฤษฎีบทเหล่านี้มาจัดเรียงใหม่ให้เป็นหมวดหมู่ โดยกำหนดคำนิยาม สัจพจน์ และประพจน์ทั่วไป ที่จำเป็นต่อการพิสูจน์ต่าง ๆ ไว้ในตอนต้น ก่อนที่จะเริ่มทำการพิสูจน์ทฤษฎีบท บทแทรก และบทตั้งต่าง ๆ โดยการอนุมานให้เป็นเหตุเป็นผลสอดรับกัน การพิสูจน์ต่าง ๆ ที่ยุคลิดได้แสดงไว้อาจแลดูไม่รัดกุมมากนัก เมื่อเทียบกับการพิสูจน์สมัยใหม่ แต่วิธีการจัดหมวดหมู่ของยุคลิดก็นับได้ว่ามีความสำคัญต่อการพัฒนาวิธีการเชิงสัจพจน์ (Axiomatic Approach) และรูปนัยนิยม (Formalism) ซึ่งมีอิทธิพลต่อการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์และคณิตศาสตร์ประยุกต์สาขาอื่น ๆ ในปัจจุบันเป็นอย่างยิ่ง